Chapitre 2 Forme normale (PDF)

Économie et management.
Licence 2.
Théorie des jeux.

Année
2014 - 2015

Chapitre 2 :
Jeux sous forme normale

Nicolas Gravel.

→ Jeux sous forme normale.
→ Définition : représentation formelle d'un problème d'interaction dans laquelle on fait
abstraction du caractère séquentiel des décisions.
→ Détails pertinents pour : comprendre la nature de l'interaction et en prévoir son issue.
→ Jeu sous forme normale : description.
→ Ensemble fini N de n joueurs, indicés par i .
→ Pour chaque joueur i : ensemble Ai des actions disponibles à i .
→ Aucune hypothèse sur Ai : fini ou infini.
→ Chaque joueur i : fonction de paiement Ui : A1 x ... x A n dans ℝ .
→ Associe à chaque liste (a1 , ... , a n ) d'actions individuelles : paiement (subjectif) reçu
par i .
→ Lorsque : joueurs choisissent les actions considérées.
→ Exemple : la course cycliste.
→ N = (1 ; 2) = (Alberto , Lance) .
→ A1 = A2 = (EPO , NON) .
→ U1 et U2 : définies par.
→ U1 (EPO , EPO) = U2 (EPO , EPO) = 1 .
→ U1 (NON , NON) = U2 (NON , NON) = 2 .
→ U1 (EPO , NON) = U 2 (NON , EPO) = 5 .
→ U1 (NON , EPO) = U 2 (EPO , NON) = −5 .
→ Stratégies mixtes : stratégie aléatoire modélisée comme une fonction de probabilité.
→ Ensembles d'actions Ai finis.
→ Stratégie mixte σ pour un joueur i : fonction de probabilité sur Ai .
→ Interprétation : σ (a) : « probabilité que i choisisse l'action a ».
→ σ ∈ [0,1] ∀ a ∈ Ai ∀ i .
→

∑ σ (a) = 1

.

a ∈ Ai

→ Stratégie pure a ∈ Ai : peut être une stratégie mixte particulière.
→ Probabilité de 1 à a et de 0 aux autres actions.
→ Si : ensemble de toutes les stratégies mixtes sur Ai = (a1, ... , a(A ) ) .
i

→ Si

(A i )

: simplexe de dimension Ai −1 = ( σ1, ... , σ(A ) ) ∈ [0,1]
→

∑ σi = 1
i

i

.

.